Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
- Sentido:
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario
o también denominado 
. Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario
o también denominado 
. Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario
o también denominado 
.Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas
Modelo de Vector
Digitalizacion Vectorial
Producto escalar
En matemáticas el producto escalar (también conocido como producto interno o producto punto) es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, i.e., una operación <\cdot,\cdot>: V \times V \longrightarrow K donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:
1. < ax + by,z > = a < x,z > + b < y,z > (lineal en la primera componente),
2. <z,ax+by> = \overlineā <z,x> + \overline{b} <z,y> (semilineal en la segunda componente),
3. <x,y> = \overline{<y,x>} (hermítica),
4. <x,x> \geq 0, y < x,x > = 0 si y sólo si x = 0 (definida positiva),
donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y \overline{c} es el conjugado del complejo c.
Es de destacar que si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedade de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por (\cdot|\cdot) o por \bullet.
Un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita se dirá que es un espacio euclideo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera: ||x|| := \sqrt{<x,x›}.
Definición simplificada para espacios euclideos reales
El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo θ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar.
Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa.
\vecĀ \cdot \vecB}=| cos \theta
El producto escalar, también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre si):
\vecĀ\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real
Conmutativa: \vecĀ \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vecĀ
Asociativa: m (\vecĀ \cdot \vec{B})= (m\vecĀ) \cdot \vec{B}=\vecĀ\cdot(m\vec{B})
Distribuitiva: \vecĀ\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vecĀ\cdot\vec{B}+\vecĀ\cdot\vec{C}
Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0).
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres 
y 
se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.
y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+ ( + 
) = ( + ) + Conmutativa
+ = + Elemento neutro
+ 
= Elemento opuesto
+ (− ) = Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
y se suma con el opuesto de .Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Ejemplo
MATRICES
Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij de la forma
La matriz anterior se denota también por (aij), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (aij).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ´ n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:
donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.
